Ejercicios de Matemáticas Resueltos

Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones

\textstyle \frac{0}{0}

ó

\textstyle \frac{\infty}{\infty}

.

Enunciado:

Sean f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe al menos un punto

c \in (a,b)

tal que:

(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces podemos escribir:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot

En el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

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