Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones \textstyle \frac{0}{0} ó \textstyle \frac{\infty}{\infty} .

Enunciado:

Sean f y g continuas en  [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe al menos un punto c \in (a,b) tal que:
(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces podemos escribir:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot
En el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.
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Teorema de Lagrange (Valor Medio)

Teorema de Lagrange (Valor Medio)
Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Entonces, existe algún punto c pertenece (a, b) tal que:
fórmula del teorema del valor medio
La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).
Interpretación gráfica del valor medio
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Teorema de Rolle

Teorema de Rolle

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Si una función es:
Continua en [a, b] 
Derivable en (a, b)
Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c pertenece (a, b) en el que f'(c) = 0.
Ilustración del Teorema de Rolle (caso 2), donde el punto mínimo es igual f(a) y el punto máximo es distinto de f(a).

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
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Regla de L´Hôpital

Regla de L´Hôpital 


Def : Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f '/g ' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

\lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} = \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)} = L


La regla de L´Hôpital la utilizamos para resolver limites con indeterminaciones del tipo: 
0 / 0  y   ∞ / ∞.

Ejemplo:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \cfrac{0}{0}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1

El resto de indeterminaciones  ∞ − ∞    0 · ∞    1 ∞    ∞ 0    0 0   las trasformamos en    0 / 0
o en    ∞ / ∞ y las resolvemos también por L´Hôpital.

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